Kiếm tiền với Ola City
Ola city
Chuyên mục giới thiệu

ĐĂNG KÝ NGAY ĐỂ CÓ CƠ HỘI SỞ HỮU CỔ PHẦN
TẠI TẬP ĐOÀN SKYWAY

Linh đăng ký:  https://new.skyway.capital/auth/registration?partner_id=379172
Linh tìm hiểu về tập đoàn:  https://skyway.link-stats.site/?partner_id=379172
Lịnk trang chủ:  http://skyway.khobaitap.com
zalo hỗ trợ: 0914789545
 

Một số bài tập hình học

Thứ bảy - 24/10/2020 09:59
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
tải xuống (3)
tải xuống (3)
  1. Tứ giác CEHD, nội tiếp .
  2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
  3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
  4. H và M đối xứng nhau qua BC. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF



HD GIẢI:
  1. Xét tứ giác CEHD ta có:
Ð CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)
     Ð CDH = 900 ( Vì AD là đường cao)
=> Ð CEH + Ð CDH = 1800
Ð CEH  và Ð CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó  CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết:   BE là đường cao => BE ^ AC => ÐBEA = 900.
AD là đường cao => AD ^ BC => ÐBDA = 900.
Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đường tròn  đường kính AB.
Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Theo giả thiết tam giác  ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến


HD GIẢI:
  1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.
Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD
  1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà ÐAOM và ÐBOM là hai góc kề bù => ÐCOD = 900.
  2. Theo trên ÐCOD = 900 nên tam giác  COD vuông tại O có OM ^ CD ( OM là tiếp tuyến ).
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OM2 = CM. DM, 
  1. Theo trên ÐCOD = 900 nên OC ^ OD .(1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM => BM ^ OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD).
  1. Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn  ngoại tiếp tam giác  COD đường kính CD có IO là bán kính.
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ^ AB; BD ^ AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB
=> IO // AC , mà AC ^ AB => IO ^ AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn  đường kính CD


HD GIẢI:
1.  Vì I là tâm đường tròn  nội tiếp, K là tâm đường tròn  bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B
Do đó BI ^ BK hayÐIBK = 900 .
Tương tự ta cũng có ÐICK = 900 như vậy B và C cùng nằm trên đường tròn  đường kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
  1. Ta có ÐC1 = ÐC2 (1) ( vì CI là phân giác của góc ACH.
ÐC2 + ÐI1 = 900 (2) ( vì ÐIHC = 900 ).
ÐI1 = Ð ICO (3) ( vì tam giác  OIC cân tại O)

Bài 5 Cho đường tròn  (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA,  gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
  1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
  2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .
  3. Chứng minh   OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
  4. Chứng minh OAHB là hình thoi.
  5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
  6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d
HD GIẢI:
 
(HS tự làm).
Vì K là trung điểm NP nên OK ^ NP ( quan hệ đường kính
  1. Và dây cung) => ÐOKM = 900. Theo tính chất tiếp tuyến ta có  ÐOAM = 900; ÐOBM = 900. như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc  900 nên cùng nằm trên đường tròn  đường kính OM.
    Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.
    3.  Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R
    => OM là trung trực của AB => OM ^ AB tại I .
    Theo tính chất tiếp tuyến ta có  ÐOAM = 900 nên tam giác  OAM vuông tại A có AI là đường cao.
    áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI. IM = IA2.
    4. Ta có OB ^ MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC ^ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.
         OA ^ MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD ^ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.
  2. => Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi.
    5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => OH ^ AB; còng theo trªn OM ^ AB => O, H, M th¼ng hµng( V× qua O chØ cã mét ®­êng th¼ng  vu«ng gãc víi AB).
    6. (HD) Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d th× H còng di ®éng nh­ng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R. Do ®ã quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d lµ nöa ®­êng trßn  t©m A b¸n kÝnh AH = R
    Bài 6  Cho tam giác  ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn  tâm A bán kính AH. Gọi HD là  đường kính của đường tròn  (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn  tại D cắt CA ở E.
       Chứng minh tam giác  BEC cân.
  1. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
  2. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến  của đường tròn  (A; AH).
  3. Chứng minh BE = BH + DE.

HD GIẢI:
  1. D AHC = DADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2).
Vì AB ^CE (gt), do đó AB vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của DBEC => BEC là tam giác  cân.  => ÐB1 = ÐB2
2. Hai tam giác  vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB chung, ÐB1 = ÐB2 => D AHB = DAIB
=> AI = AH.
3. AI = AH và BE ^ AI tại I => BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I.
4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
Bài 7  Cho đường tròn  (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
  1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.
  2. Chứng minh BM // OP.
  3. Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.
Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.


AONP là hình chữ nhật => ÐAPO = Ð NOP ( so le) (7)
Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau Ta có PO là tia phân giác ÐAPM => ÐAPO = ÐMPO (8).
Từ  (7) và (8) => DIPO cân tại I có IK là trung tuyến đông thời là đường cao => IK ^ PO. (9)
Từ  (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng.
Bài 8  Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB  và  điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM  cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB.
3)  Chứng minh BAF là tam giác cân.
4) Chứng minh rằng : Tứ giác  AKFH là hình thoi.
5) Xác định vị trí  M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.

HD GIẢI:
1. Ta có : ÐAMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> ÐKMF = 900 (vì là hai góc kề bù).
ÐAEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> ÐKEF = 900 (vì là hai góc kề bù).
=> ÐKMF + ÐKEF = 1800 . Mà ÐKMF và ÐKEF là hai góc đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp.
  1. Ta có ÐIAB = 900 ( vì AI là tiếp tuyến ) => DAIB vuông tại A có AM ^ IB ( theo trên).
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => AI2 = IM . IB.
  1. Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => ÐIAE = ÐMAE => AE  =  ME 
=> ÐABE =ÐMBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF. (1)
Theo trên ta có ÐAEB = 900 => BE ^ AF hay BE là đường cao của tam giác  ABF (2).
Từ  (1) và (2) => BAF là tam giác cân. tại B .
  1. BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của AF. (3)
Từ BE ^ AF => AF ^ HK (4), theo trên AE là  tia phân giác góc IAM hay AE là  tia phân giác ÐHAK  (5)
Từ  (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của HK. (6).
Từ  (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường).
  1. (HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FH hay IA // FK =>  tứ giác AKFI là hình thang.
Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn  thì AKFI phải là hình thang cân.
AKFI  là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB.

 

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

global video
Thống kê
  • Đang truy cập11
  • Máy chủ tìm kiếm3
  • Khách viếng thăm8
  • Hôm nay8,295
  • Tháng hiện tại148,823
  • Tổng lượt truy cập1,259,224
Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây