kho bài tập

https://khobaitap.com

Một số bài tập hình học

Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
tải xuống (3)
  1. Tứ giác CEHD, nội tiếp .
  2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
  3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
  4. H và M đối xứng nhau qua BC. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF



HD GIẢI:
  1. Xét tứ giác CEHD ta có:
Ð CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)
     Ð CDH = 900 ( Vì AD là đường cao)
=> Ð CEH + Ð CDH = 1800
Ð CEH  và Ð CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó  CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết:   BE là đường cao => BE ^ AC => ÐBEA = 900.
AD là đường cao => AD ^ BC => ÐBDA = 900.
Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đường tròn  đường kính AB.
Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Theo giả thiết tam giác  ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến


HD GIẢI:
  1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.
Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD
  1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà ÐAOM và ÐBOM là hai góc kề bù => ÐCOD = 900.
  2. Theo trên ÐCOD = 900 nên tam giác  COD vuông tại O có OM ^ CD ( OM là tiếp tuyến ).
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OM2 = CM. DM, 
  1. Theo trên ÐCOD = 900 nên OC ^ OD .(1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM => BM ^ OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD).
  1. Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn  ngoại tiếp tam giác  COD đường kính CD có IO là bán kính.
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ^ AB; BD ^ AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB
=> IO // AC , mà AC ^ AB => IO ^ AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn  đường kính CD


HD GIẢI:
1.  Vì I là tâm đường tròn  nội tiếp, K là tâm đường tròn  bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B
Do đó BI ^ BK hayÐIBK = 900 .
Tương tự ta cũng có ÐICK = 900 như vậy B và C cùng nằm trên đường tròn  đường kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
  1. Ta có ÐC1 = ÐC2 (1) ( vì CI là phân giác của góc ACH.
ÐC2 + ÐI1 = 900 (2) ( vì ÐIHC = 900 ).
ÐI1 = Ð ICO (3) ( vì tam giác  OIC cân tại O)

Bài 5 Cho đường tròn  (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA,  gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
  1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
  2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .
  3. Chứng minh   OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
  4. Chứng minh OAHB là hình thoi.
  5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
  6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d
HD GIẢI:
 
(HS tự làm).
Vì K là trung điểm NP nên OK ^ NP ( quan hệ đường kính
  1. Và dây cung) => ÐOKM = 900. Theo tính chất tiếp tuyến ta có  ÐOAM = 900; ÐOBM = 900. như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc  900 nên cùng nằm trên đường tròn  đường kính OM.
    Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.
    3.  Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R
    => OM là trung trực của AB => OM ^ AB tại I .
    Theo tính chất tiếp tuyến ta có  ÐOAM = 900 nên tam giác  OAM vuông tại A có AI là đường cao.
    áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI. IM = IA2.
    4. Ta có OB ^ MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC ^ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.
         OA ^ MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD ^ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.
  2. => Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi.
    5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => OH ^ AB; còng theo trªn OM ^ AB => O, H, M th¼ng hµng( V× qua O chØ cã mét ®­êng th¼ng  vu«ng gãc víi AB).
    6. (HD) Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d th× H còng di ®éng nh­ng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R. Do ®ã quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d lµ nöa ®­êng trßn  t©m A b¸n kÝnh AH = R
    Bài 6  Cho tam giác  ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn  tâm A bán kính AH. Gọi HD là  đường kính của đường tròn  (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn  tại D cắt CA ở E.
       Chứng minh tam giác  BEC cân.
  1. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
  2. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến  của đường tròn  (A; AH).
  3. Chứng minh BE = BH + DE.

HD GIẢI:
  1. D AHC = DADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2).
Vì AB ^CE (gt), do đó AB vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của DBEC => BEC là tam giác  cân.  => ÐB1 = ÐB2
2. Hai tam giác  vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB chung, ÐB1 = ÐB2 => D AHB = DAIB
=> AI = AH.
3. AI = AH và BE ^ AI tại I => BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I.
4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
Bài 7  Cho đường tròn  (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
  1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.
  2. Chứng minh BM // OP.
  3. Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.
Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.


AONP là hình chữ nhật => ÐAPO = Ð NOP ( so le) (7)
Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau Ta có PO là tia phân giác ÐAPM => ÐAPO = ÐMPO (8).
Từ  (7) và (8) => DIPO cân tại I có IK là trung tuyến đông thời là đường cao => IK ^ PO. (9)
Từ  (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng.
Bài 8  Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB  và  điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM  cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB.
3)  Chứng minh BAF là tam giác cân.
4) Chứng minh rằng : Tứ giác  AKFH là hình thoi.
5) Xác định vị trí  M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.

HD GIẢI:
1. Ta có : ÐAMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> ÐKMF = 900 (vì là hai góc kề bù).
ÐAEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> ÐKEF = 900 (vì là hai góc kề bù).
=> ÐKMF + ÐKEF = 1800 . Mà ÐKMF và ÐKEF là hai góc đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp.
  1. Ta có ÐIAB = 900 ( vì AI là tiếp tuyến ) => DAIB vuông tại A có AM ^ IB ( theo trên).
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => AI2 = IM . IB.
  1. Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => ÐIAE = ÐMAE => AE  =  ME 
=> ÐABE =ÐMBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF. (1)
Theo trên ta có ÐAEB = 900 => BE ^ AF hay BE là đường cao của tam giác  ABF (2).
Từ  (1) và (2) => BAF là tam giác cân. tại B .
  1. BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của AF. (3)
Từ BE ^ AF => AF ^ HK (4), theo trên AE là  tia phân giác góc IAM hay AE là  tia phân giác ÐHAK  (5)
Từ  (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của HK. (6).
Từ  (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường).
  1. (HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FH hay IA // FK =>  tứ giác AKFI là hình thang.
Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn  thì AKFI phải là hình thang cân.
AKFI  là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB.

 
Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây