Bài tập chuyển động cơ học

Thứ ba - 08/09/2020 09:18

Câu 1 Một chiếc xe khởi hành từ A lúc 8 giờ 15 phút để đi tới B. Quãng đường AB dài 100km. Xe cứ chạy 15 phút thì dừng lại 5 phút. Trong 15 phút đầu xe chạy với tốc độ không đổi v1=10km/h, các 15 phút tiếp theo xe chạy với tốc độ lần lượt là 2v1, 3v1, 4v1, 5v1…, nv1.
a. Tính tốc độ trung bình của xe trên quãng đường AB.
b. Xe tới B lúc mấy giờ?

a. Tính tốc độ trung bình.
· Gọi S₁, S₂, …S_n lần lượt là các quãng đường đi được trong 1/4h kế tiếp nhau v_1,v₂,…v_n là giá trị của vận tốc khi xe chạy trên các quãng đường ấy
v₁=10km/h
v₂=2v₁=20km/h
v₃=3v₁=30km/h
……………….
V_n=kv₁= 10n (km/h)
· Quãng đường đi được:
           S₁ = v₁t = 10.1/4 = 2,5km
           S₂ = v₂t = 20.1/4 = 5km
           S₃ = v₃t = 30.1/4 = 7,5km
           ………………………….
           S_k = v_nt = 10n.1/4 = 2,5n (km)
· Tổng quãng đường : S = S₁ + S₂ + S₃ …..+S_n = 2,5(1+2+3….+n) (n nguyên dương)
· S = 2,5n(n+1)/2 = 100 => n(n+1) = 80
                                              => n² +n- 80 =0 à n =8,45 hoặc n= - 9,45
Vì n nguyên dương, nếu n= 8 thì S = 2,5.8(8+1) = 90 (km)
· Như vậy tốc độ trung bình là v_TB = AB/t
· Thời gian 8 lần xe chuyển động là t₁ = 8.1/4 = 2h
- Thời gian 8 lần xe nghỉ 15 phút là t₂ = 8.1/12 = 2/3h
- Thời gian xe chuyển động 10km cuối là t₃ = 10/90 = 1/9h
Vậy t = t₁+ t₂+ t₃ = 2+ 2/3 + 1/9 = 25/9h

· Tốc độ trung bình v_TB= 100/(25/9) = 36km/h

b. Thời điểm tới B

· Xe tới B đồng hồ chỉ lúc 8h15’ + 2h 46’40’’ = 11h01’40’’

Bài 2: Lúc 7 giờ sáng, một người đi xe đạp từ thành phố A về phía thành phố B cách A 114km với vận tốc 18km/h. Lúc 8 giờ, một người đi xe máy đi từ thành phố B về phía thành phố A với vận tốc 30km/h.

a) Xác định vị trí và thời điểm hai người gặp nhau.
b) Một người đi bộ khởi hành lúc 8 giờ và lúc nào cũng cách đều xe đạp và xe máy cho tới khi ba người gặp nhau. Hỏi điểm xuất phát của người đó cách A bao xa? Tính vận tốc của người đó.

Chọn A làm mốc
Gốc thời gian là lúc 8h
Chiều dương từ A đến B
Lúc 8h xe đạp đi được từ A đến C
AC = v₁. t = 18.1 = 18km.
Phương trình chuyển động của xe đạp là :
x₁ = x₀₁ + v₁.t₁= 18 + 18 t
Phương trình chuyển động của xe máy là :
x₂ = x₀₂ - x₂.t₂= 114 – 30t
Hai xe gặp nhau khi:
x₁ = x₂
Û18 + 18t = 114 – 30t
t = 2 (h)
Suy ra x = 18 + 18.2 = 48 ( km )
Vậy 2 xe gặp nhau lúc : 8 + 2 = 10 giờ và nơi gặp cách A một khoảng 54km
Vì người đi bộ lúc nào cũng cách người đi xe đạp và xe máy nên:
Lúc 7 giờ phải xuất phát tại trung điểm của CB tức cách A là:
AD = AC + CB/2 = 66 (km)
Lúc 10 giờ 3 người gặp nhau tức cách A: 54 km
Vậy sau khi chuyển động được 2h người đi bộ đã đi được quãng đường là:
                              S = 66 - 54 = 12( km )
Vận tốc của người đi bộ là : v₃ = 6 (km/h)
Câu 3:
          Hai vật chuyển động thẳng đều trên một đường thẳng. Nếu đi ngược chiều để gặp nhau, thì sau 10 giây, khoảng cách giữa hai vật giảm 20m. Nếu đi cùng chiều thì sau 10 giây khoảng cách giữa chúng chỉ giảm 8m. Hãy tìm vậm tốc của mỗi vật.
Câu 1:
    Gọi x là vận tóc của vật thứ nhất, y là vận tóc của vật thứ 2
- Quảng đường vật thứ nhất đi được sau 10s: S₁ = 10x
- Quảng đường vật thứ 2 đi được sau 10s:      S₂ = 10y
* Khi chuyển động ngược chiều:

Theo bài khoảng cách giữa 2 vật giảm 20 m nên ta có phương trình:
S₁

+   S₂ = 20
          ó   10x + 10y = 20
          ó   x + y = 2    (1)
* Khi chuyển động cùng chiều
Theo bài khoảng cách giữa 2 vật giảm 8 m nên ta có phương trình:
S₁

- S₂ = 8

10x - 10y = 8
x - y = 0.8 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

    x + y = 2
    x - y = 0.8
    Giải hệ ta được x = 1.4 ; y = 0.6
    Vậy vận tốc của 2 vật lần lượt là 1.4 m/s và 0.6 m/s
Câu 3
Hai người cùng xuất phát với vận tốc v từ hai địa điểm A và B cách nhau một đoạn đường là S. Người thứ nhất đi từ A về B đã chia đường đi thành 4 chặng bằng nhau, vận tốc đi ở chặng sau gấp 2 lần vận tốc đi ở chặng liền trước. Người thứ hai đi từ B về A đã chia thời gian đi thành 4 khoảng bằng nhau, vận tốc đi ở khoảng thời gian sau gấp 2 lần vận tốc đi trong khoảng thời gian liền trước.

Tìm vận tốc trung bình của mỗi người trên cả quãng đường đi.
Ai là người đến đích của mình sớm hơn, sớm hơn bao nhiêu?

a. Giả sử quãng đường AB là S
Thời gian người thứ nhất đi từ A đến B là:
t_A = S/4v + S/8v + S/16v + S/32v = 15S/32v
Vậy vận tốc trung bình của người thứ nhất trên đoạn đường AB là
   v_TB1= S/t_A = S/( 15S/32v ) = 32v/15
Giả sử thời gian người thứ hai đi từ B đến A là t_B
Quãng đường người đi thứ hai đi từ B đến A là
S = t_B.v/4 + t_B.2 v/4+ t_B.4 v/4 + t_B.8 v/4 = 15t_Bv/4                                  (1)
Vậy vận tốc trung bình của người đi thứ hai trên quãng đường BA là
v_TB2= S/t_B = ( 15t_Bv/4 )/ t_B = 15v/4
b. Từ (1) ta có   t_B = 4S/15v
Xét t_A - t_B = 15S/32v - 4S/15v = 97S/480v
t_A - t_B = 97S/480v > 0 với mọi giá trị của S và v
Vậy người thứ hai đến trước và đến trước một khoảng thời gian là   97S/480v
Câu 4
Cùng một lúc hai người chuyển động đều, cùng chiều nhau với vận tốc là V₁= 40km/h ; V₂= 30km/h, cách nhau một quãng L. cùng lúc đó người thứ ba ở cùng vị trí người thứ nhất nhưng chuyển động ngược chiều với hai người trên. Khi gặp người thứ hai thì người thứ ba lập tức quay lại đuổi theo người thứ nhất với vận tốc như cũ là V₃= 50km/h. Kể từ khi gặp người thứ hai và quay lại đuổi kịp người thứ nhất thì người thứ ba đi mất thời gian 5,4 phút.
a) Tính khoảng cách L ?
b) Khi gặp lại người thứ nhất, họ cách người thứ hai bao xa?
Đổi 5,4 phút =0,09 h
Gọi t (h) là thời gian từ khi bắt đầu khởi hành đến khi xe thứ ba gặp xe thứ hai . đ/k t > 0
Suy ra độ dài quãng đường L là : L=(30+50).t (1)
Lúc xe thứ ba gặp xe thứ hai thì chúng cách xe thứ nhất là :
L + (40-30) t (km)
Mặt khác kể từ lúc gặp xe thứ hai xe thứ ba quay lại đuổi kịp xe thứ nhất mất thời gian 0,09 h nên lúc xe thứ ba gặp xe thứ hai thì chúng cách xe thứ nhất là : (50-40).0,09 =0,9 (km)
Vậy ta có phương trình : L+ (40-30)t= 0,9 thay (1) vào ta có
(30+50)t+(40-30)t=0,9
Giải ra ta có t=0,01h
Vậy L= (30+50).0,01 =0,8(km)
Xe thứ ba vừa gặp xe thứ hai liền đuổi kịp xe thứ nhất mất thời gian 0,09 h nên trong thời gian đó xe thứ nhất gia tăng thêm khoảng cách so với xe thứ hai là : 0,09.(40-30)=0,9(Km)
Vậy khi gặp lại xe thứ nhất thì chúng cách xe thứ hai là :
0,9+0,9 =1,8(Km)
Câu 5: Một động tử xuất phát từ A trên đường thẳng hướng về B với vận tốc ban đầu V₀ = 1 m/s, biết rằng cứ sau 4 giây chuyển động, vận tốc lại tăng gấp 3 lần và cứ chuyển động được 4 giây thì động tử ngừng chuyển động trong 2 giây. trong khi chuyển động thì động tử chỉ chuyển động thẳng đều.
Sau bao lâu động tử đến B biết AB dài 6km?
cứ 4 giây chuyển động ta gọi là một nhóm chuyển động
Dễ thấy vận tốc của động tử trong các n nhóm chuyển động đầu tiên là: 3⁰ m/s; 3¹ m/s; 3² m/s …….., 3^n-1 m/s ,……..,   và quãng đường tương ứng mà động tử đi được trong các nhóm thời gian tương ứng là: 4.3⁰ m; 4.3¹ m;   4.3² m; …..; 4.3^n-1 m;…….
Vậy quãng đường động tử chuyển động trong thời gian này là:
S_n = 4( 3⁰ + 3¹ + 3² + ….+ 3^n-1)
Đặt K_n = 3⁰ + 3¹ + 3² + …..+ 3^{n – 1} Þ K_n + 3ⁿ = 1 + 3( 1 + 3¹ + 3² + …..+ 3^{n – 1})
Þ K_n + 3ⁿ = 1 + 3K_n       Þ
Vậy: S_n = 2(3ⁿ – 1)
Vậy ta có phương trình: 2(3ⁿ -1) = 6000 Þ 3ⁿ = 2999.
Ta thấy rằng 3⁷ = 2187; 3⁸ = 6561, nên ta chọn n = 7.
Quãng đường động tử đi được trong 7 nhóm thời gian đầu tiên là:
2.2186 = 4372 m
Quãng đường còn lại là: 6000 – 4372 = 1628 m
Trong quãng đường còn lại này động tử đi với vận tốc là ( với n = 8):
3⁷ = 2187 m/s
Thời gian đi hết quãng đường còn lại này là:
Vậy tổng thời gian chuyển động của động tử là:
     7.4 + 0,74 = 28,74 (s)
Ngoài ra trong quá trình chuyển động. động tử có nghỉ 7 lần ( không chuyển động) mỗi lần nghỉ là 2 giây, nên thời gian cần để động tử chuyển động từ A tới B là: 28,74 + 2.7 = 42,74 giây.